Yves DUBOYS FRESNEY

 

Vagues petites notions de mathématiques

perdues dans l’océan du Droit [1]

           

Depuis toujours, le droit règlemente les relations sociales et humaines et puis en retour doit s’y adapter ; pour cela, tous les moyens provenant des sciences humaines, mais aussi des sciences exactes, sont à sa disposition et alors, que peuvent donc représenter les mathématiques pour les juristes : un outil plutôt indispensable ou bien quelque chose de franchement superflu ; certains s’y intéressent sérieusement, parfois un peu contraints et forcés, d’autres font preuve d’une totale allergie, mêlée de temps en temps d’un brin de dérision…

            Aborder les Mathématiques ne devrait pas en principe être très complexe : la simple « règle de trois » ou bien le « une équation à une inconnue » sont souvent les seuls calculs applicables au droit : assez simple donc, encore faut-il savoir bien poser la règle ou l’équation…

            Voici quelques exemples pratiques [2] destinés à montrer les interférences entre les deux matières, entre les deux sciences [3] :

La réévaluation des récompenses

Nous sommes en présence de travaux réalisés par un couple marié sous un régime de communauté sur un bien propre à l’un des époux ; la communauté finance ces travaux au cours du mariage mais, à la dissolution, elle a droit, en application de l’article 1469 du code civil, à une récompense calculée, tantôt sur la dépense faite, tantôt sur le profit subsistant : la dépense faite correspond au montant des factures, mais à quoi correspond le profit subsistant ? A la part de plus-value réalisée sur le bien, consécutivement aux travaux, et comment donc en fait-on le calcul ?

Un exemple : Valeur d’origine du bien propre : 100 000 euros

            Travaux réalisés par la communauté : 50 000 euros (dépenses faites)

            Prix de vente ou valeur actuelle du bien propre : 250 000 euros

            Montant du profit subsistant : 50 000 x 250 000 = 125 000 euros

100 000

Eh bien NON ! la règle de trois est à notre avis mal posée ; car en d’autres termes, il faut comparer les choses comparables ; on ne doit pas confondre les valeurs d’une maison sans travaux et avec travaux ; on ne peut pas comparer les 250 000 euros qui comprennent les travaux avec les 100 000 euros d’origine sans travaux mais plutôt avec les 150 000 euros ce qui correspond au prix de revient travaux compris, aux valeurs historiques disent les comptables.

            L’équation sera donc :

50 000 x 250 000 = 83 333 euros

                                           100 000 + 50 000

 

L’ordre d’imputation des libéralités sur la quotité disponible

Certains héritiers, les descendants, sont protégés par une réserve correspondant à un certain pourcentage de la succession ; le défunt ne pourra en leur présence disposer que du complément, dénommé quotité disponible, qui selon le cas s’élève à une moitié, un tiers ou un quart.

Cette quotité comprendra les dispositions pour cause de mort mais également celles entre vifs faites à des héritiers non-réservataires et-ou hors part successorale (autrefois dénommées par préciput) ; toutes ces dispositions sont dites imputables sur la quotité disponible ; il faudra donc pour le calcul inclure certaines donations entre vifs, certains dons manuels, des donations entre époux et puis certains legs ; lorsque l’ensemble de ces dispositions dépassent en montant celui de la quotité disponible, il y aura lieu, pour ne pas affecter la réserve, de procéder à une réduction des libéralités.

A partir de là, comment imputer cette réduction : deux méthodes : en fonction de la date des libéralités avec une priorité aux plus anciennes (article 923 du code civil) et puis au marc le franc en cas de concomitance des libéralités, notamment toutes celles applicables et prenant rang au jour du décès ; dans ce dernier cas une simple règle de trois parait suffire ; ET BIEN cela n’est pas toujours aussi simple : il y a les imputations sur  une ou sur deux successions, celle du prémourant et puis celle du survivant, il y a les imputations sur la seule quotité disponible et puis d’autres à la fois sur la réserve-globale et sur la quotité disponible, enfin les imputations conventionnelles, celles principales-intégrales et celles subsidiaires…

Ici donc pas d’équation, mais du raisonnement.    

 

Les droits des enfants naturels

Aujourd’hui en France, la moitié des enfants naissent en dehors du mariage de leurs parents ; ces enfants autrefois étaient dits naturels et leur part héréditaire était inférieure à celle des enfants dits légitimes c'est-à-dire nés au cours du mariage ; à l’origine, ils ne recevaient que un tiers de ce qu’ils auraient eu s’ils avaient été légitimes ; la loi du 25 mars 1896 ramène le tiers à la moitié [4] et puis la loi du 3 janvier 1972 ramène les enfants à l’égalité .

Les enfants dits adultérins qui n’avaient aucun droit avant 1972 recueilleront aussi à partir de là la moitié de leur droit théorique, ceci jusqu’à la loi du 3 décembre 2001 qui les ramènera aussi à l’égalité [5] .

La formule de n’hériter que du tiers ou de la moitié de ce que l’on aurait pu avoir si l’on avait été légitime a fait l’objet de nombreux commentaires d’ordre mathématique [6] .

Très simplement, en présence de deux enfants, l’un naturel et l’autre légitime, le principe de répartir moitié-moitié passe à un quart pour l’un et donc le solde pour l’autre soit les trois quarts restant ; en présence de trois enfants, un naturel et deux légitimes, le principe du tiers à chacun passe à un sixième ou deux douzième pour l’un et à cinq douzième pour chacun des deux autres [7] .

La jurisprudence a entériné depuis longtemps cette méthode [8] .

Mais les mathématiciens la reprouvent car le texte n’est pas respecté à la lettre ; en présence de deux enfants, la moitié pour l’un et donc le double pour l’autre, c’est devoir conclure à un tiers et deux tiers, et non pas à un quart et trois quarts.

Voici la formule la plus simple pour le cas d’un seul enfant naturel en concours avec un ou plusieurs enfants légitimes : M ou 100 est la masse à partager, n est le nombre d’héritiers dont un naturel, p est la part recueillie par les enfants légitimes et p/2 celle de l’enfant naturel :

 M = p ( n – 1 ) + p/2  d’où 2M = p ( 2n – 1 ) et donc p = 200 / 2n - 1

La situation se complique quand il y a plusieurs enfants naturels ou quand l’enfant naturel est en concours avec des ascendants ou des collatéraux – article 759 ancien du code civil - Des formules mathématiques plus complexes – à plusieurs inconnues - visant toutes ces hypothèses ont été avancées [9] ; la jurisprudence civile a maintenu sa position, les mathématiciens aussi la leur, mais ce problème n’est plus d’actualité aujourd’hui car les droits des enfants sont désormais identiques ; l’intérêt de la question est devenu seulement historique.

 

Les partages de biens communs ou successoraux

Il s’agit de la liquidation et du partage des biens de deux époux mariés sous le régime de la communauté, dans le cadre du premier décès des époux ou d’un divorce.

Cette partie du droit, décrite aux articles 1467 et suivants du code civil, requiert des qualités comptables, proches du raisonnement mathématique ; on parle de mathématique des partages. Les examens professionnels de notaire portent souvent sur ce sujet, où l’on peut faire varier à volonté et à l’infini les calculs de récompenses, de rapports de dons ou d’imputations des passifs.

Les opérations d’un partage sont les suivantes :

-          Observations préalables pour faciliter la compréhension et alléger les parties suivantes

-          Liquidation des récompenses

-          Liquidation de la communauté avec l’actif, le passif puis la balance et donc l’actif net

-          Liquidation de la succession comprenant les droits de moitié de l’actif net de communauté plus l’actif propre moins le passif propre et la balance

-          Détermination des droits des parties

-          Attributions

-          Affectation du passif à acquitter

-          Enfin et surtout la vérification : le total des attributions plus le passif à acquitter doit être égal à l’actif net ; ce point est essentiel pour l’exactitude des opérations.

Ces différentes opérations sont de nature comptables avec de simples opérations arithmétiques ; la difficulté vient surtout de la compréhension et la mise en place des données ; le bon résultat tient au bon raisonnement ; l’erreur peut rapidement survenir suite à une lecture trop rapide du sujet ou bien un raisonnement écourté et alors le résultat devient catastrophique pour le respect de l’égalité entre les époux ou les héritiers [10] .

Les points délicats sont l’analyse des récompenses, le rapport des donations entre vifs, l’évaluation des actifs immobiliers, le rétablissement concernant des opérations personnelles à l’un ou l’autre des copartageants.

 

Certaines opérations sont très proches du partage de communauté et de succession :

-         Le partage de sommes d’argent est régi par les mêmes règles civiles avec toutefois quelques particularités ; le but est de répartir équitablement des fonds gérés en commun ou en indivision ; il faut aussi retraiter les charges ou actifs personnels de certains à ne pas confondre avec la masse commune.

Et là, la vérification se fait à partir de l’addition des règlements prévus plus le passif restant à acquitter, égal au montant actuel du compte à répartir.

 

-         Le décompte fiscal est établi dans le cadre d’une déclaration de succession ; ici le code général des impôts s’applique en plus et en contradiction parfois avec les règles du code civil ; des particularités apparaissent dans la date d’effet des opérations au jour du décès, avec certaines présomptions d’impositions ou de non déductibilité, le calcul forfaitaire des meubles, etc… ; le but est de dégager le montant des droits de succession à payer ; là encore l’exactitude est de règle, la déclaration sera contrôlée par les services fiscaux.

La succession du 2^ème époux est plus délicate encore ; le risque serait d’omettre la liquidation des récompenses établie au 1^er décès, ou bien l’établissement d’un compte d’administration ou encore un quasi-usufruit [11] ; l’objectif est de ne pas payer deux fois sur les mêmes sommes mais aussi de ne rien oublier avec les deux successions confondues ; et puis pour aller dans le détail, ne faudrait-il pas retraiter les droits et frais de succession réglés au 1^er décès par le conjoint survivant alors qu’ils sont légalement à la charge des héritiers directs !

 

La participation dans une société

A et B veulent s’associer.

Ils investissent ensemble 50 000 euros ; mais veulent à cette occasion tenir compte et neutraliser une créance existante entre eux de 10 000 euros.

Alors comment répartir le capital : 30 000 euros pour l’un et 20 000 euros pour l’autre de façon à faire ressortir la différence de 10 000 euros

ET BIEN NON ! Surtout pas !

Il faudra prévoir 35 000 euros pour l’un et 15 000 euros pour l’autre avec donc une différence de 20 000 euros égal au double de la créance ; car il ne faut surtout pas confondre les biens et créances personnels des associés avec ceux de la future société.

Cette question rejoint celle pour les partages ci-dessus des créances et dettes entre époux à ne pas confondre avec les récompenses ou dettes à l’égard de la communauté qui appartient aux deux.

 

Recherche d’un prix de revient hors taxe compte tenu d’une TVA déductible

Vous souhaitez vendre un terrain à bâtir et qu’il vous en revienne 50 000 euros en ce compris l’incidence de la TVA. Le prix de vente est soumis à la TVA et puis vous avez des factures antérieures pour 30 000 euros TTC dont la TVA sera déductible. A combien donc fixer ce prix de vente : à moins de 50 000 euros puisqu’il y a de la TVA à « récupérer » !

Tout d’abord quelle est donc, au moyen d’une simple règle de trois, cette TVA déductible :

TVA déductible = 30 000 x 19,6 = 4916,38

119,6

Ensuite fixer le prix hors taxe à 50 000 euros reviendrait à encaisser le prix TTC soit (50 000 x 119,6) moins la TVA à payer qui s’élève à la TVA exigible (50 000 x 19,6)

100                                                                                                  100

diminuée de la TVA déductible (4916,38) soit 9800 – 4916,38 = 4883,62

Fixer le prix peut se faire à l’approche, environ 45 000 euros, mais aussi plus logiquement en posant une équation :

Prix HT + TVA exigible = Prix de Revient + TVA à payer  

d’où Prix HT = Prix de Revient – TVA exigible + TVA à Payer

d’où Prix HT = Prix de Revient – TVA déductible

d’où Prix HT = 50 000 – 4 916,38 = 45 083,62 euros

En réalité, il revient donc, pour fixer le prix hors taxe de la vente, à soustraire la TVA déductible (4916,38 euros) au prix de revient souhaité de 50 000 euros, soit un prix hors taxe de 45 083,62 euros ; de là, le prix TTC sera de 53920 euros, à recevoir de la vente mais sur lequel il faudra soustraire la TVA à payer de 3920 euros (8836,38 – 4916,38) de sorte que le vendeur retrouvera bien ses 50 000 euros souhaités.

 

Les impôts sur le revenu -  plus généralement la fiscalité

L’impôt sur le revenu des ménages que l’on attribue en France à Joseph Caillaux est bien connu des dix millions de français qui chaque année remplissent parfois avec difficulté leurs déclarations de ressources.

Les juristes sont-ils plus affutés pour cette tâche ? Le font-ils avec plus de cœur ? Sans doute pas ! Et pourtant, l’imprimé à remplir est établi à partir d’une loi, la loi de finances votée au Parlement dans les derniers jours de l’année pour un effet immédiat au 1^er janvier suivant.

Là encore, le couperet est tranchant : d’une part ne pas payer plus d’impôts qu’il ne faudrait et d’autre part ne pas faire d’omissions coupables, voire de fausses déclarations ; car l’Administration surveille, l’erreur à la hausse ne sera pas toujours révélée, à la baisse, il y aura des rattrapages et des sanctions.

Remplir sa déclaration d’impôt, c’est traduire en chiffres, en colonnes et en additions, parfois soustractions, les différentes mesures imposées par de nombreux textes de loi regroupés dans le Code Général des Impôts ; et ce code est vraiment complexe [12] , au point qu’il est souvent utile de faire appel à un professionnel pour remplir sa déclaration ; la complexité croissante vient du fait de l’analyse de plus en plus poussée dans les différences de situations [13] .

Certains impôts sont de pure application mathématique : la TVA ou encore feu l’Avoir Fiscal ; et puis il y a des subtilités, par exemple celle de la différence entre déduction et réduction que l’on applique soit à la base de l’impôt soit à l’impôt lui-même, à comparer bien sûr avec le crédit d’impôt…

 

Les droits économique, financier et bancaire

Ces parties du droit utilisent fréquemment les statistiques et les probabilités, mais aussi des équations différentielles, des tables financières, des calculs d’emprunts ou de rentes ; on parle alors de mathématiques financières ; à vrai dire nous sommes ici autant à faire de l’économie que du droit ; les deux matières sont liées ; l’une a besoin de l’autre et réciproquement ; les mathématiques sont pour tout cela un outil plus que nécessaire… 

 

La gestion de patrimoine

On retrouve à nouveau ici les droits économique, financier et bancaire ; la pratique des mathématiques consiste surtout en des mises en équation, en des opérations de calculs et en l’utilisation de la calculatrice financière HP 17B2 Business avec toutes ses applications, les calculs de flux constants ou variables, les conversions de taux, les calculs statistiques, l’arithmétique de date, etc…

Ici, un petit exemple, le calcul des frais d’entrée lors d’un placement en assurance-vie parait au premier abord assez simple : le placement à réaliser est de 1 000 et les frais de 3%,- donc 30 de frais ; et bien ces frais en réalité peuvent être calculé soit en dehors ou soit en dedans du placement : en gros, sur 1000 ou bien sur 970 ; l’incidence parait faible, 29,10 au lieu de 30, soit là aussi 3% de différence, mais sur un gros placement, cette question doit être abordée au même titre que le pourcentage des frais ; car en réalité, la base des frais pourrait être soit le placement 1000, soit 1000 moins les frais, soit 1000 plus les frais ; bien évidemment plus la base est faible et plus les frais sont faibles ;

La formule la plus exacte du calcul en dedans des frais est :

F = (1000 – F) x 3  d’où F = 29,13

100

 

Bien d’autres situations juridiques encore génèrent de telles équations qui seront toujours simples, la difficulté tenant seulement à la mise en place des données.

 

Conclusion : Alors, chers juristes, tous ces calculs sont finalement plus importants qu’il n’y paraît ; les secteurs du droit qui les sollicitent sont nombreux ; ils ne peuvent plus être traités de façon subalterne et mineure, car ils sont souvent au cœur même de la discussion juridique.

Pour ceux qui ne seraient toujours pas convaincus de l’utilité des mathématiques dans l’usage et la pratique du droit, il faudrait tout de même admettre que de nombreux points de convergence existent entre ces deux matières : la TERMINOLOGIE tout d’abord est proche voire identique : par exemple, l’égalité est une notion mathématique résultante d’une équation ; mais c’est aussi la devise de la République applicable aux droits et aux obligations de tous les concitoyens devant la loi ou devant les charges publiques [14] ; et puis il y a le RAISONNEMENT : le raisonnement mathématique est tantôt déductif, tantôt inductif ou bien abductif [15] , le raisonnement juridique procède des mêmes démarches intellectuelles ; les mathématiques comme le droit sont fondées sur des axiomes ou des postulats, font l’usage de théorèmes, obéissent à des lois, requièrent une logique et raisonnent sur un problème posé pour ici le traduire en équation et ainsi trouver un résultat qui constituera la solution ; et pour là dans une démarche d’analyse textuelle et sans perdre de  vue l’esprit de synthèse, développer une suite logique d’affirmations ou de reformulations en vue soit d’une solution juridique, soit d’une décision judiciaire.

                                                                                              Yves Duboys Fresney notaire

 

(A paraître dans la revue trimestrielle de droit civil du 1^er trimestre 2014)

NOTES